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Collection de modèles mathématiques Poincaré

La remarquable collection d’objets mathématiques Poincaré, unique au monde, a traversé un bon siècle de péripéties diverses avant d’entamer une véritable renaissance. Une visite commentée par François Apéry. Cette collection est riche d’environ 600 objets en plâtre, fil, bois ou encore en papier mâché. Elle se trouve dans la salle des modèles mathématiques de la bibliothèque de l’Institut Henri Poincaré dès son inauguration en 1928. Celle-ci est très ancienne : les premiers modèles remontent à 1860-1870.

Les origines

A l’origine, l’un des piliers de la collection était la collection Muret. C’est-à-dire des objets qui étaient fait pour expliquer la taille des pierres, la stéréotomie. Et tout ça était fondé sur la géométrie descriptive qui avait été inventée par Gaspard Monge. Donc les architectes et les tailleurs de pierre utilisaient ces méthodes de géométrie descriptive pour fabriquer des modèles utiles pour la construction. Ils commençaient par des modèles géométriques simples, les polyèdres. Par exemple, les 5 solides de Platon (cube, tétraèdre, octaèdre, icosaèdre, dodécaèdre) avec une définition bien précise de polyèdres réguliers. Les premiers étaient en plâtre mais ceux présentés sont en carton car les plâtres ont malheureusement disparu. Si on change un peu les conditions, on en trouve d’autres : les 13 polyèdres archimédiens, les 13 polyèdres de Catalan, les 4 polyèdres de Poinsot non convexes. Mais dans chaque cas, la collection est complète c’est-à-dire donne tous les objets correspondant à une définition donnée. C’est pour cela qu’elle intéresse les mathématiciens. Du point de vue des tailleurs de pierre, c’est peu important qu’on les ait tous, l’important c’est de pouvoir tailler ceux dont on a besoin. Les modèles représentent parfois une partie de l’objet mathématique mais dans laquelle on peut voir ce qui nous intéresse.

Modèles mathématiques : Les 5 solides de Platon

 

Modèles mathématiques : Les 13 polyèdres d’Archimède

 

Modèles mathématiques : Les 4 polyèdres de Poinsot

 

Modèles mathématiques : Les 13 polyèdres de Catalan

La taille des pierres

La taille des pierres a donné des objets qui ont commencé à avoir un intérêt mathématique. Il y avait une question qui était posée traditionnellement dans les écoles d’architecture : comment faire un escalier en colimaçon dans une cage rectangulaire ? On va faire l’escalier de telle sorte que la marche de celui qui monte l’escalier soit aussi douce que possible, c’est-à-dire qu’il n’y ait pas d’angles vifs qui tournent à 90° : on trouve que le moyen dans un rectangle de caser une courbe qui tourne gentiment, c’est l’ellipse. Si vous vous promenez sur un escalier en marchant au milieu et en suivant une courbe elliptique, au milieu de l’escalier, il y a un trou appelé la ligne de jour. Et, pour ne pas tomber dans le trou, vous avez un garde-corps que vous mettez à distance de bras. Donc la ligne de jour est la distance de bras quand vous marchez le long d’une ellipse. Cela s’appelle une courbe parallèle. Mais si vous mettez la courbe parallèle à une ellipse, ça se contrôle mathématiquement. On va donc tailler le bord de l’escalier avec une courbe qui n’est pas une ellipse. Et, en même temps, il faut que ça monte et les pierres à tailler dans les coins ne vont pas être faciles donc vous avez besoin d’une définition mathématique précise pour ces pierres car il faut les insérer les unes dans les autres pour que ça colle parfaitement. Donc il y avait nécessité pour les tailleurs de pierre d’avoir des outils mathématiques précis, la géométrie descriptive pour avoir la taille qui convenait pour ces pierres-là. Et c’était l’un des exercices de base pour apprendre à tailler correctement. Parfois, en bas des escaliers, il y avait une colonne avec une boule au-dessus et un anneau dans la boule pour faire plus joli. L’anneau en mathématiques s’appelle un tore qui est inséré dans la boule, appelé l’arrachement d’un tore à une boule en géométrie descriptive. La forme qui reste quand on arrache un tore à une boule fait apparaître à l’intersection 2 cercles, les cercles de Villarceau sur le tore qui sont des objets intéressants. Les mathématiciens se sont dit que c’était très bien pour enseigner la géométrie car on ne va pas se limiter à des choses qui intéressent les architectes mais aussi des choses qui les intéressent : par exemple les cyclides, des transformations du tore appelée une inversion qui garde certaines propriétés du tore mais a une forme différente. Voilà comment sont nées ces collections d’objets mathématiques.

Modèles mathématiques : Cercles de Villarceau

 

Modèles mathématiques : Cyclides

Les modèles en plâtre

Quand on étudiait les surfaces à l’école, on commençait par apprendre la géométrie dans le plan puis dans l’espace, les quadriques, surfaces les plus simples après le plan (surfaces du second degré). On sait les classer, toutes les décrire : par exemple l’ellipsoïde, l’hyperboloïde à une nappe, le paraboloïde elliptique, l’hyperboloïde à deux nappes, le paraboloïde hyperbolique. On ne peut pas toucher ces objets car ils sont fragiles, en plâtre. Mais on peut toucher un cône dont on a fait une copie en imprimante 3D et qui est démontable afin de démontrer les propriétés des coniques : on coupe un cône de révolution par des plans et on s’aperçoit que ça fait apparaître une courbe qui a une forme différente (ellipse, parabole, hyperbole : les 3 coniques habituelles). Ces modèles remontent à Apollonius donc l’antiquité grecque soit 2 millénaires. Mais le modèle de Dandelin en bois a un peu plus d’un siècle ; c’est un mathématicien belge qui a trouvé un moyen en utilisant les méthodes qui remontent à Apollonius pour expliquer ce que sont les foyers et les directrices d’une conique. Par exemple, le mouvement des planètes autour du soleil décrit des ellipses dont le soleil est un foyer. Cette notion de foyer peut être décrite en faisant des calculs avec des équations mais ce modèle est une méthode purement géométrique : on voit l’ellipse en métal en biais, elle est touchée par 2 calottes sphériques, une petite en haut et une autre plus grande en bas, ça touche le plan de l’ellipse en 2 points qui sont marqués par des vis en laiton qui sont les foyers ; ces sphères sont inscrites dans le cône qui définit l’ellipse et ça touche exactement aux foyers ; le modèle est articulé et, quand on fait tourner le modèle, on voit que la ficelle en rouge reste toujours tendue. C’est une propriété de l’ellipse dite propriété du jardinier : la somme des distances d’un point de l’ellipse au foyer est constante. Donc on le voit fonctionner car à l’origine ce modèle était bien fait pour être utilisé par des étudiants.

Modèles mathématiques : Surfaces quadriques

 

Modèles mathématiques : Ellipsoïde de Dandelin

Il y a énormément de surfaces du troisième degré mais on peut encore les classer si on donne les contraintes. Par exemple, dans 2 vitrines on a 45 modèles qui représentent toutes les surfaces cubiques qui ont des points doubles isolés. Elles ont été faites en 2016 en impression 3D donc peuvent être refaites rapidement à partir du fichier.

Modèles mathématiques : Surfaces cubiques

Les modèles en bois

Joseph Caron enseignait la géométrie dans les lycées parisiens puis à l’Ecole Normale Supérieure à partir de 1872 sous la direction de Gaston Darboux, qui avait fait un traité sur la théorie des surfaces et enseignait  les surfaces à l’Ecole Normale, et demandait à Joseph Caron de faire des exercices de géométrie descriptive avec des étudiants. Il y avait un énoncé, les élèves faisaient le dessin, l’épure, avec 2 projections de géométrie descriptive. Et, quand tout était fini, Caron leur amenait le modèle physique en bois qui était la solution. Sur ces modèles, il y a dessus l’énoncé de l’exercice sur une étiquette en bas (déterminer la surface qui fait ceci et cela). L’étiquette est signée de Joseph Caron avec la date, en général un peu avant 1914, ainsi que l’équation. La géométrie descriptive était une façon de visualiser des objets géométriques abstraits. Mais il allait plus loin, il ne se contentait pas des épures. Il faisait vraiment le modèle qu’on pouvait toucher après. Ces modèles, et d’autres aussi, ont été présentés à l’Exposition Universelle de Paris en 1937 au Palais de la Découverte. Ils étaient accompagnés d’une petite carte postale. Celle-ci disait par exemple que c’est une structure qu’on retrouve sur les cornes de certains bovins. Les cornes ne sont plus des équations algébriques (celles qui ont un degré) mais des fonctions transcendantes (sinus, exponentielle, …).

Modèles mathématiques : Modèles de Caron

 

Modèles mathématiques : Corne

La forme de la Terre est-elle un ellipsoïde aplati ou allongé ? Ce n’était pas évident donc il a fallu beaucoup de disputes avant de découvrir que c’était un ellipsoïde aplati. Mais il fallait des mesures précises et surtout savoir interpréter les mesures car les gens les interprétaient de façon erronée. Même Cassini, pourtant un astronome éminent, a fait une erreur d’interprétation géométrique. Il a cru que la Terre était allongée donc il a fallu reprendre les raisonnements géométriques pour voir que la Terre était aplatie. Ces formes sont des approximations bien utiles pour la pratique mais on trouve des choses beaucoup plus compliquées dans la nature.

Modèles mathématiques : Ellipsoïdes

Pour faire des surfaces réglées, c’est-à-dire qu’on peut engendrer avec des droites, on fait courir un fil sur une structure en bois, on coud sur la structure et on met toutes les droites. Mais les fils qui sont des droites font apparaître une surface. Par exemple, l’hélicoïde pour un escalier en colimaçon. On a des exemples de courbes. Quand on étudie les courbes à l’école ou à l’université, on voit que pour les courbes planes, quand il y a des dérivées qui ne s’annulent pas, ça se présente gentiment mais qu’il y a quelquefois des points singuliers parce que les dérivées s’annulent jusqu’à un certain ordre et on a alors des rebroussements, des singularités. On sait qu’il y a 4 singularités essentielles dans le plan et 8 dans l’espace. On peut voir ces 8 formes de courbes au voisinage d’un point avec les équations correspondantes. Un théorème de mathématiques un peu plus élaboré dit qu’une surface cubique qui n’a pas de point singulier contient 27 droites ; une surface cubique en plâtre qui est probablement due à Caron permet de voir les 27 droites réelles en fil bleu.

Modèles mathématiques : Surfaces réglées

 

Modèles mathématiques : Courbes

 

Modèles mathématiques : Surface cubique de Caron

Le surréalisme

De manière surprenante, ces modèles mathématiques ont connu un engouement formidable à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle. Les allemands, les français, les américains en ont fait. C’était vendu dans les universités, les gens les montraient dans les cours, c’était formidable ! Puis il y a eu dans les années 30 une crise dans les mathématiques. En France, la première réunion du groupe Bourbaki a eu lieu au café Capoulade en 1935. Il a décidé de nettoyer toutes les imperfections qu’il y avait dans les fondations des mathématiques. Et ils ont eu l’idée que tous ces modèles étaient des sources d’erreur, de raisonnement faux, qu’il fallait arrêter. Donc tous les modèles à la suite de ce mouvement-là sont partis dans les caves. On les a cachés, on ne les a plus utilisés, on a fait disparaître les figures des ouvrages de mathématiques et on a cessé d’utiliser des modèles pour des raisons pédagogiques. Sur ces entrefaites, le mouvement surréaliste emmené derrière André Breton fait des réunions. Il fréquente peut-être on imagine le salon philosophique de Jean Perrin dans le bâtiment en face. Et apprend en la même année 1935 l’existence de ces modèles dans les sous-sols et placards de l’Institut Poincaré. Ils se précipitent pour voir et disent : c’est formidable, voilà les formes nouvelles qu’on cherche. Ils se jettent là-dessus comme des affamés au moment même où les mathématiciens déclarent que c’étaient des choses du passé, qu’il ne fallait plus s’en occuper, eux voient là-dedans l’art moderne, les formes nouvelles, l’inspiration nouvelle, etc… Donc ils se précipitent et se mettent à photographier tout ça, à peindre. Vous avez toutes les peintures des surréalistes qui s’inspirent de ces modèles de l’Institut Poincaré. Vous vous souvenez de ce célèbre tableau de Dali, la Crucifixion où vous avez le Christ en croix ; cette croix un peu spéciale est en fait un hypercube dont la copie se trouve dans les caves de l’Institut Poincaré. Man Ray par exemple photographie tous ces modèles en 1934. Puis les utilise pour en faire une série de tableaux dans les années 40, regroupés sous le nom « Équations shakespeariennes ». Tout à coup, ce sont des objets que les surréalistes utilisent. Ils prennent une deuxième vie par le biais de l’art. Ils les empruntent pour une exposition surréaliste en 1936 à la galerie Ratton. On les voit dans les photographies, ils les mettent dans les cahiers d’art. Quand Man Ray a vu un modèle avec 2 bras, 2 pinces et quelque chose à l’intérieur, il était perplexe, il a enlevé ce qu’il y avait dedans et il a vu ce machin avec 2 pinces assez formidables ; il l’a photographié, on le voit dans les tableaux. Comme il n’a jamais remis les objets dedans on s’est donc retrouvé avec le support et 2 pinces ; il est resté à la cave et on ne s’en est plus occupé. Et voilà qu’en 2013, c’est la commémoration du centenaire du ready made de Duchamp donc le Centre Pompidou demande à emprunter les modèles  puis c’est un enchaînement, la Philips Collection à Washington vient emprunter des modèles et notamment celui de Man Ray et demande une explication mais impossible de savoir donc le responsable envoie des mails à différents laboratoire dans le monde et celui de Munich qui possède le même objet finit pour trouver que ce n’est pas un modèle mathématique mais juste un support et il a retrouvé à la cave les pièces qui allaient dedans (une cyclide).

La question d’intérieur/extérieur est liée au ruban de Moebius où il n’y a l’air d’y avoir qu’un seul côté. La notion d’intérieur et d’extérieur suppose que quelque chose habite dans un espace plus grand. Une surface habite dans un espace ordinaire de dimension 3, est-ce qu’elle enferme ou non un volume ? Il y a une représentation très médiocre de la bouteille de Klein : c’est une bouteille où le goulot rentre dans la bouteille pour se connecter à l’intérieur. C’est un exemple de surface qu’on dit unilatère. Y a-t-il ou non un intérieur ? C’est une question qui mérite attention. Si on regarde cette bouteille et qu’on la réalise, il y a bien un intérieur. Pourtant on vous dit quelquefois qu’il n’y en a pas. C’est tout simplement qu’on ne peut pas représenter correctement la bouteille de Klein en dimension 3. On le sait car il y a un théorème. Donc il y a une tricherie, c’est-à-dire qu’à un moment l’objet se croise lui-même. Et, se croisant lui-même, il crée artificiellement l’intérieur qui n’existe pas. Mais normalement, l’objet existe par exemple en dimension 4, pas en dimension 3. Donc on force la bouteille de Klein telle qu’on la représente à habiter en dimension 3 par un artifice qui consiste à ce que le goulot traverse la bouteille. Si vous avez une surface fermée, c’est-à-dire sans bord, une surface qui se referme sur elle-même, c’est un théorème qu’il y a nécessairement un intérieur. En revanche, quand on vous dit qu’il n’y a pas d’intérieur, ça veut dire que si vous vous baladez sur la bouteille de Klein, vous allez vous retrouver à l’intérieur mais en traversant à un moment donné la surface elle-même puisqu’il y a cette intersection. Cela veut dire que si je marche sur la surface mais que je m’autorise à traverser les murs comme le passe-muraille de Marcel Aimé qui a la propriété de traverser les murs mais ne traverse pas le plancher. C’est bien la propriété mathématique : on se balade tangentiellement à la surface donc on ne traverse pas mais dès qu’on est transversal à la surface on traverse.

Modèles mathématiques : Ruban de Moebius

 

Modèles mathématiques : Bouteille de Klein

Les objets plus récents

Il y a aussi des objets plus récents : une surface en fil de fer d’une surface de degré 8 faite par le responsable, 2 objets faits en 2014 qui représentent des objets liés aux fractales et à l’ensemble de Mandelbrot, obtenu en itérant une certaine fonction et en regardant ce qui se passe. Est-ce que quand on itère la fonction, ça va ou non vers l’infini ? Cela permet de déterminer un ensemble qui a une structure bizarre qu’on appelle structure fractale. En regardant cet objet, on peut dire combien il a fallu d’itérations pour en arriver à ce point. Et ce nombre d’itérations définit une courbure. Un théorème dit que quand on a cette mesure, il existe nécessairement un objet convexe qui a ça comme courbure. Quelle est l’allure de cet objet convexe ? C’est un problème qu’on ne savait pas trop voir physiquement mais avec l’imprimante 3D, on a pu le faire.

Modèles mathématiques : Objets récents

 

Bibliothèque de l’Institut Henri Poincaré

11, rue Pierre et Marie Curie 75005 PARIS

Tél : 01 44 27 66 52

Mél : bibli-accueil@ihp.fr

http://www.ihp.fr/fr/bibliotheque

 

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